| # | SCHEDA | DATA ULTIMA REVISIONE | NUM PAGINE | DESCRIZIONE | Download |
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| 1 | SCHEDA 1 - Proprieta Strutture Algebriche.pdf | 04-02-2024 | 53 | Ordinamento di un insieme.
Definizione assiomatica dell’insieme ℕ dei numeri naturali e introduzione alle sue proprietà elementari.
Definizione assiomatica dell'insieme ℝ dei numeri reali e dell’insieme ℂ dei numeri complessi.
Dimostrazione che ℝ ⊆ ℂ
Formalizzazione delle proprietà di base delle strutture di campo e di spazio vettoriale. | Apri |
| 2 | SCHEDA 2 - Teorema di derivazione della funzione inversa.pdf | 03-04-2024 | 44 | Simbologia convenzionale utilizzata nelle schede seguenti.
Definizione e principali proprietà dei limiti.
Teorema di derivazione della funzione inversa nel caso particolare di funzioni strettamente monotone ℝ → ℝ.
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| 3 | SCHEDA 3 - Numero di Eulero.pdf | 19-12-2023 | 16 | Definizione del numero di Eulero "e" come limite della successione (1+1/n)^n
Dimostrazione che "e" è compreso tra 2 e 3. | Apri |
| 4 | SCHEDA 4 - Funzione Esponenziale e logaritmo .pdf | 19-12-2023 | 52 | Definizione formale della funzione esponenziale.
Dimostrazione dell'equivalenza tra la definizione come limite di una successione e la definizione tramite serie numerica.
Definizione formale della funzione logaritmo.
Dimostrazione formale delle proprietà di continuità e crescenza delle due funzioni.
Relazione tra somma e prodotto.
In appendice vengono introdotti e dimostrati i criteri di convergenza principali per le successioni e per le serie numeriche e vengono delineate le principali proprietà degli insiemi infiniti numerabili.
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| 5 | SCHEDA 5 - Esponenziale e Logaritmo a base generica.pdf | 19-12-2023 | 14 | Definizione formale della funzione esponenziale a base generica, della funzione logaritmo a base generica e dimostrazione delle loro proprietà elementari: esistenza, continuità, monotonia, relazione tra somma e prodotto, regola della potenza, formula per il cambiamento di base dei logaritmi. | Apri |
| 6 | SCHEDA 6 - Funzione Potenza con esponente naturale.pdf | 19-12-2023 | 17 | Definizione formale della funzione potenza ad esponente naturale e delle sue proprietà fondamentali analitiche (simmetria, monotonia, continuità) e algebriche. Dimostrazione dell'invertibilità nell'insieme dei reali non negativi e introduzione alla funzione radice. | Apri |
| 7 | SCHEDA 7 - Funzioni Seno e Coseno.pdf | 24-12-2023 | 35 | Definizione formale "alternativa" delle funzioni seno e coseno tramite serie di funzioni. Dimostrazione delle loro proprietà fondamentali (esistenza, continuità, identità trigonometriche) e delle proprietà di periodicità. Dimostrazione dell'esistenza del π come punto di annullamento della funzione.
Tramite una teoria basata sulle soluzioni intere dell'equazione lineare diofantea a sul teorema di approssimazione di Dirichlet si dimostra inoltre che tutti i punti di annullamento della funzione seno sono multipli interi di π.
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| 8 | SCHEDA 8 - Equazioni Funzionali di Cauchy.pdf | 20-12-2023 | 16 | Proprietà di base delle soluzioni delle equazioni funzionali di Cauchy
f(a+b)=f(a)+f(b)
f(a+b)=f(a)f(b)
f(ab)=f(a)f(b)
In particolare si dimostra che ogni soluzione continua in ℝ dell’equazione f(a+b)=f(a)f(b)deve necessariamente appartenere all’insieme delle funzioni esponenziali a base generica. | Apri |
| 9 | SCHEDA 9 - Funzione Potenza con esponente reale.pdf | 21-12-2023 | 26 | Definizione formale di potenza ad esponente intero e di potenza ad esponente razionale. Giustificazione dell'identità exp(x,a)=a^x in ambito razionale tramite le proprietà delle soluzioni dell'equazione funzionale di Cauchy f(p+q)=f(p)f(q).
Definizione formale di potenza ad esponente reale. Dimostrazione delle proprietà di base (continuità e crescenza)
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| 10 | SCHEDA 10 - Funzioni differenziabili e derivate.pdf | 29-12-2023 | 48 | Definizione di funzione differenziabile e di funzione derivata (ambito ℝ→ℝ). Dimostrazione delle principali proprietà della derivata (linearità, regola del prodotto, regola del rapporto, chain rule). Derivata delle funzioni elementari. Per le funzioni definite tramite serie (esponenziale, seno e coseno) viene fornita una dimostrazione alternativa dell’espressione della derivata basata sul teorema di derivazione termine a termine.
In appendice vengono dimostrati i teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy, de l'Hopital.
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| 11 | SCHEDA 11 - Introduzione agli spazi vettoriali e alle strutture Kn.pdf | 04-02-2024 | 17 | Formalizzazione delle proprietà elementari delle strutture di spazio vettoriale. In particolare viene introdotto il concetto di base e si dimostra che ogni base di uno spazio vettoriale è costituta dallo stesso numero di vettori (chiamato dimensione dello spazio).
Viene quindi introdotta formalmente la struttura K^n che si specializza in ℂ, ℝ^n, ℂ^n. Si dimostra quindi che la struttura K^n è uno spazio vettoriale. | Apri |
| 12 | SCHEDA 12 - P-NORMA.pdf | 02-01-2024 | 20 | Definizione della p-norma (norma di Hölder) negli spazi ℝ^n.
Dimostrazione che la p-norma è una norma (soddisfa la non negatività, non degenerazione, omogeneità, disuguaglianza triangolare generalizzata).
Per La dimostrazione della disuguaglianza triangolare generalizzata si utilizza la disuguaglianza di Minkoski, dimostrata in appendice. | Apri |
| 13 | SCHEDA 13 - derivate di ordine superiore.pdf | 09-02-2024 | 25 | Formula per la derivata di ordine n della sommatoria
Formula di Leibniz per la derivata di ordine n del prodotto
Formula di Faà di Bruno per la derivata di ordine n della composizione di funzioni.
In appendice viene introdotto lo spazio dei multi-indici e le sue principali proprietà. | Apri |
| 14 | SCHEDA 14 - Formula Taylor.pdf | 06-03-2024 | 19 | Formula di Taylor ℝ ⇀ ℝ nella versione con termine complementare di Peano e Lagrange.
Espressione della Formula di Taylor per la somma di funzioni, per il prodotto di funzioni e per la composizione di funzioni.
Condizione sufficiente per la presenza di un estremante | Apri |
| 15 | SCHEDA 15 - Funzioni iperboliche e trigonometriche inverse .pdf | 03-04-2024 | 21 | Definizione e principali proprietà delle funzioni iperboliche (cosh(x), sinh(x)).
Dimostrazione dell'invertibilità e forma esplicita delle inverse (arccosh(x), arcsinh(x)).
Definzione e principali proprietà delle funzioni trigonometriche inverse (arcsin(x), arccos(x)) | Apri |